Niet-meetbare verzameling
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een niet-meetbare verzameling een deelverzameling van een verzameling met een eindig positieve maat, waar de structuur van de deelverzameling echter zo gecompliceerd is dat de maat van deze deelverzameling niet zinvol gedefinieerd kan worden, dat wil zeggen niet zodanig dat de gebruikelijke eigenschappen voor een maat gelden.
Historisch gezien heeft deze intuïtie Borel en Kolmogorov beïnvloed om de waarschijnlijkheidstheorie uitsluitend te formuleren op basis van meetbare verzamelingen. De meetbare verzamelingen op de eenheidslijn worden gevormd door telbare verenigingen en doorsnedes van intervallen. Deze meetbare verzamelingen zijn rijk genoeg voor elke denkbare definitie van een verzameling die in de standaard wiskunde ontstaat, maar ze vereisen veel formalisme om te bewijzen dat verzamelingen daadwerkelijk meetbaar zijn.
In 1970 stelde Robert Solovay vast dat het, onder de veronderstelling dat ontelbare keuze niet is toegestaan, consistent met de standaard verzamelingentheorie is om te veronderstellen dat er geen niet-meetbare verzamelingen bestaan. Onder aanname van het keuzeaxioma bestaan ze wel, onder andere bestaan dan de niet meetbare Vitali-verzamelingen, en gelden de Hausdorff-paradox en de Banach-Tarskiparadox die onmeetbaarheid van bepaalde verzamelingen impliceren.