For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Representatiestelling van Riesz.

Representatiestelling van Riesz

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

De term representatiestelling van Riesz slaat op verschillende resultaten uit de functionaalanalyse, een tak van de wiskundige analyse. Dit artikel gaat over de representatie van continue lineaire functionalen op een topologische vectorruimte van continue functies.

Representatiestellingen geven een concrete vorm aan een abstract gedefinieerd begrip. Het abstracte begrip is hier een continue lineaire functionaal op de topologische vectorruimte C[0,1], de continue complexwaardige functies op het gesloten eenheidsinterval.

Oorspronkelijke gedaante

De oorspronkelijke vorm, zoals in 1909 gepubliceerd door Frigyes Riesz, luidt in moderne termen ongeveer als volgt. Zij

een functie die met iedere continue reëelwaardige functie op het gesloten eenheidsinterval een reëel getal associeert, met de volgende twee eigenschappen:

lineair:
positief: als , dan is

Dan is F de integraal ten opzichte van een eindige (positieve) Borelmaat. Uitdrukkelijk: er bestaat een eindige maat m op de Borelstam van het interval [0,1] zodat voor alle continue functies f

Voorbeelden

De gewone Riemann-integraal over het gesloten eenheidsinterval is een positieve lineaire functionaal. De representatiestelling van Riesz bevestigt dus nog eens dat het Riemann-integraalbegrip overeenkomt met het abstractere integraalbegrip van de maattheorie.

De functionaal die iedere functie f afbeeldt op haar waarde in een vast punt a, is positief en lineair. De overeenkomstige maat is de Dirac-maat (kansmaat geconcentreerd in het punt 0), verschoven over een lengte a.

Veralgemeningen

De stelling geldt nog steeds als F een positieve complexwaardige lineaire functionaal is op de ruimte der complexe continue functies op het interval [0,1].

Het gesloten eenheidsinterval kan worden vervangen door algemenere topologische ruimten. Meestal wordt de onderliggende ruimte lokaal compact verondersteld: elk punt heeft een omgeving met compacte sluiting. Opdat de gevonden Borelmaat regulier zou zijn, wordt meestal ook aangenomen dat de ruimte sigma-compact is, dat wil zeggen dat ze een aftelbare vereniging van compacte deelruimten is.

Men kan de onderliggende sigma-algebra van m verfijnen totdat m volledig is: iedere deelverzameling van een nulverzameling is meetbaar (en opnieuw een nulverzameling). Deze algemene vorm van de representatiestelling van Riesz geeft een relatief eenvoudige definitie aan de Lebesgue-maat op de Lebesguestam van de Euclidische ruimte . Zie ook het artikel Lebesgue-integraal.

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Representatiestelling van Riesz
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.