For faster navigation, this Iframe is preloading the Wikiwand page for Unitaire matrix.

Unitaire matrix

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

In de lineaire algebra is een unitaire matrix een complexe vierkante matrix waarvoor geldt dat

Daarin is de hermitisch toegevoegde matrix van en de eenheidsmatrix.

Merk op dat deze voorwaarde inhoudt dat een matrix unitair is dan en slechts dan als hij een inverse heeft die gelijk is aan haar geconjugeerde getransponeerde matrix

Een unitaire matrix waarvan alle elementen reëel zijn, is een orthogonale matrix. Evenals een orthogonale matrix bewaart ook unitaire matrix het inwendig product, immers voor van de orde en het standaard inwendig product op is:

voor alle complexe vectoren en . Verder zijn de volgende voorwaarden equivalent:

  1. is unitair
  2. is unitair
  3. De kolommen van vormen een orthonormale basis van met respect tot dit inwendig product
  4. De rijen van vormen een orthonormale basis van met respect tot dit inwendig product
  5. is een isometrie met respect tot de norm van dit inwendig product.

Eigenwaarden

Uit de eigenschap van isometrie volgt dat alle eigenwaarden van een unitaire matrix complexe getallen zijn met absolute waarde gelijk aan 1. De eigenwaarden liggen dus op de eenheidscirkel in het complexe vlak. Voor de eigenwaarde met bijbehorende eigenvector geldt namelijk:

,

dus

.

De reële eigenwaarden van een unitaire matrix kunnen dus alleen de getallen +1 en –1 zijn. Aangezien de complexe eigenwaarden in paren geconjugeerde waarden voorkomen, heeft een unitaire matrix van oneven orde ten minste een reële eigenwaarde +1 of –1.

Determinant

Evenals de eigenwaarden heeft ook de determinant van een unitaire matrix de absolute waarde 1, want:

.

Normaliteit en diagonaliseerbaarheid

Alle unitaire matrices zijn normaal, waardoor de spectraalstelling op de unitaire matrices van toepassing is. Elke unitaire matrix heeft dus een decompositie van de vorm

waarin unitair is, en diagonaal en unitair is.

Unitaire groep

Voor elke n vormt de verzameling van alle unitaire matrices van orde n, uitgerust met de operatie matrixvermenigvuldiging, een groep, de unitaire groep.

Generalisatie

Bij uitbreiding kan men ook unitaire operatoren definiëren op een Hilbertruimte. Een belangrijke eigenschap van unitaire operatoren en matrices is dat zij als operator op een vector de norm van die vector niet veranderen:

.

Zie ook

{{bottomLinkPreText}} {{bottomLinkText}}
Unitaire matrix
Listen to this article

This browser is not supported by Wikiwand :(
Wikiwand requires a browser with modern capabilities in order to provide you with the best reading experience.
Please download and use one of the following browsers:

This article was just edited, click to reload
This article has been deleted on Wikipedia (Why?)

Back to homepage

Please click Add in the dialog above
Please click Allow in the top-left corner,
then click Install Now in the dialog
Please click Open in the download dialog,
then click Install
Please click the "Downloads" icon in the Safari toolbar, open the first download in the list,
then click Install
{{::$root.activation.text}}

Install Wikiwand

Install on Chrome Install on Firefox
Don't forget to rate us

Tell your friends about Wikiwand!

Gmail Facebook Twitter Link

Enjoying Wikiwand?

Tell your friends and spread the love:
Share on Gmail Share on Facebook Share on Twitter Share on Buffer

Our magic isn't perfect

You can help our automatic cover photo selection by reporting an unsuitable photo.

This photo is visually disturbing This photo is not a good choice

Thank you for helping!


Your input will affect cover photo selection, along with input from other users.