Analiza harmoniczna
dział matematyki wyższej / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Analiza harmoniczna, analiza fourierowska – dział analizy matematycznej badający szeregi Fouriera i transformacje Fouriera[1].
Ten artykuł dotyczy analizy widmowej w elektronice. Zobacz też: analiza widmowa w fizyce i chemii. |
Dział ten powstał w XIX wieku przy badaniu równań różniczkowych cząstkowych i od tego czasu skorzystał z osiągnięć innych działów matematyki jak rygorystyczna analiza rzeczywista czy analiza funkcjonalna. Ta pierwsza wypracowała warunki Dirichleta możliwości analizowania funkcji w ten sposób, a ta druga zmieniła perspektywę na szeregi i transformacje Fouriera. Są one rozkładem wektorów w bazie przestrzeni Hilberta za pomocą iloczynu skalarnego.
W XX wieku poczyniono w tej dziedzinie znaczące postępy, m.in. opracowano algorytm szybkiej transformacji Fouriera, poszerzono zakres i metody badań dzięki teorii dystrybucji oraz znaleziono zastosowania w teorii liczb[potrzebny przypis].
Analiza fourierowska to jeden z fundamentów fizyki matematycznej, nie tylko jako narzędzie rozwiązywania jej równań. Jest podstawą analizy drgań i fal w mechanice, optyce i ogólnej teorii względności oraz stanowi fundament fizyki kwantowej, zwłaszcza obrazu Schrödingera. Zasada nieoznaczoności Heisenberga wynika z falowej natury ciał oraz twierdzeń analizy harmonicznej.
Analiza ta prowadzi do utworzenia modelu stanowiącego sumę składowych harmonicznych (harmonik), tj. funkcji sinusoidalnych i cosinusoidalnych w określonym przedziale czasowym. Model ten przyjmuje na ogół postać:
gdzie:
- – parametry modelu.
W przypadku, gdy w szeregu czasowym występuje tendencja rozwojowa (trend), model przyjmuje natomiast postać
zaś parametry modelu wynoszą:
- dla
- dla
Należy jednak pamiętać, iż dla ostatniej składowej harmonicznej natomiast:
- [2].