Kula wpisana
Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Kula wpisana w wielościan – kula, która mieści się cała w danym wielościanie i której powierzchnia dotyka wszystkich ścian wielościanu. O takim wielościanie można powiedzieć, że jest opisany na kuli[1][2].
Powierzchnia kuli, a bardziej formalnie – jej brzeg, nazywana jest sferą. W definicji można zastąpić kulę pojęciem sfery nie zmieniając żywotnie jej sensu. Dlatego obok kuli wpisanej w wielościan, mówi się równoważnie o sferze wpisanej w wielościan (analogicznie do koła/okręgu wpisanego w wielokąt).
Twierdzenie mówiące, że jeżeli w wielościan można wpisać kulę, wszystkie odcinki łączące wierzchołek wielościanu z punktami styczności kuli do sąsiadujących ścian są równej długości, bywa określane jako „najmocniejsze twierdzenie stereometrii”[3]. Znane jest też twierdzenie, że objętość takiego wielościanu jest równa jednej trzeciej iloczynu sumy pól ścian i promienia kuli wpisanej[4].
Nie każdy wielościan można opisać na kuli. Można tego jednak dokonać między innymi dla każdego wielościanu foremnego, a także każdego wielościanu Catalana[5]. Kulę wpisaną można zdefiniować także dla niektórych innych brył, jak chociażby stożek, stożek ścięty czy walec[6]. Archimedes wykazał, że objętość kuli wpisanej w walec kołowy prosty (o wysokości równej średnicy podstawy) do którego wpisany jest także stożek (określający szerokość walca) są w stosunku objętości 1:2:3 (odpowiednio kula, stożek, walec)[7], a jego rozumowanie zostało sformalizowane i uogólnione w XVIII wieku, dając początek zasadzie Cavalieriego[8]. Według relacji Plutarcha szkic tego odkrycia znalazł się na grobie Archimedesa, zgodnie z wyrażonym przez uczonego życzeniem[9]. Oprócz kuli wpisanej można również zdefiniować kulę opisaną oraz kulę pośrednią[10].