Construção de Cayley-Dickson
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Em matemática, a construção de Cayley-Dickson, nomeada por Arthur Cayley e Leonard Eugene Dickson, produz uma sequência de álgebras sobre o campo dos números reais, cada um com o dobro da dimensão do anterior. As álgebras produzidas por esse processo são conhecidas como álgebras de Cayley-Dickson, por exemplo, números complexos, quaterniões e octoniões. Estes exemplos são álgebras de composição úteis frequentemente aplicadas em física matemática[1].
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A construção de Cayley-Dickson define uma nova álgebra semelhante à soma direta de uma álgebra com ela mesma, com a multiplicação definida de uma maneira específica (diferente da multiplicação fornecida pela soma direta genuína) e uma involução conhecida como conjugação. O produto de um elemento e seu conjugado (ou às vezes a raiz quadrada deste produto) é chamado de norma.
As simetrias do campo real desaparecem à medida que a construção de Cayley-Dickson é aplicada repetidamente: primeiro perdendo a ordem, depois a comutatividade da multiplicação, a associatividade da multiplicação e a próxima alternativa.
Mais geralmente, a construção de Cayley-Dickson leva qualquer álgebra com involução para outra álgebra com involução de duas vezes a dimensão.
Álgebra | Dimensão | Ordenada | Propriedades de multiplicação | Não-trivial | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Comutativa | Associativa | Alternativa | Associatividade
de potência | ||||
Números reais | 1 | Sim | Sim | Sim | Sim | Sim | Não |
Números complexos | 2 | Não | Sim | Sim | Sim | Sim | Não |
Quaterniões | 4 | Não | Não | Sim | Sim | Sim | Não |
Octoniões | 8 | Não | Não | Não | Sim | Sim | Não |
Sedeniões | 16 | Não | Não | Não | Não | Sim | Sim |
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