Функция Ве́йерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.
Функция Вейерштрасса задается на всей вещественной прямой единым аналитическим выражением
где — произвольное нечётное число, не равное единице, а — положительное число, меньшее единицы.
Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом
поэтому функция определена и непрерывна при всех вещественных . Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при
Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке строят две последовательности и , сходящиеся к точке , и доказывают, что отношения
- и
имеют разные знаки по крайней мере при
- и .
Указанные последовательности могут быть определены как
- и
где — ближайшее целое число к .
Отсутствие производной во всех точках при более общих условиях
- и
было установлено Харди[1].