司徒顿t分布(Student's t-distribution),簡稱t 分布,在機率論及统计学中用于根据小样本來估計母體呈常態分布且標準差未知的期望值。若母體標準差已知,或是样本数足够大时(依據中央極限定理漸進常態分布),则应使用常態分布來進行估計。其為对两个样本期望值差异进行显著性测试的司徒頓t檢定之基础。
事实速览 参数, 值域 ...
学生t 分布
概率密度函數 |
累積分布函數 |
参数 |
自由度 |
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值域 |
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概率密度函数 |
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累積分布函數 |
其中:是超几何函数 |
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期望值 |
时为,时未定义 |
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中位數 |
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眾數 |
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方差 |
时为,否则为无穷大 |
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偏度 |
时为 |
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峰度 |
时为 |
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熵 |
- : 双Γ函数,
- : 贝塔函数
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矩生成函数 |
未定义 |
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特徵函数 |
- : 第二类修正貝塞爾函數
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司徒頓t 檢定改進了Z檢定(Z-test),因為在小樣本中,Z檢定以母體標準差已知為前提,Z檢定用在小樣本會產生很大的誤差,因此必須改用学生t 檢定以求準確。但若在樣本數足夠大(普遍認為超過30個即足夠)時,可依據中央極限定理近似常態分布,以Z檢定來求得近似值,
在母體標準差數未知的情況下,不論樣本數量大或小皆可應用t檢定。在待比較的數據有三組以上時,因為誤差無法被壓低,此時可以用變異數分析(ANOVA)代替t檢定。
t 分布的推导最早由德國大地测量学家弗里德里希·羅伯特·赫爾默特于1876年提出,并由德國数学家雅各布·魯洛斯证明。[1][2]
英國人威廉·戈塞于1908年再次发现并发表了t分布,当时他还在愛爾蘭都柏林的吉尼斯啤酒酿酒厂工作。酒廠雖然禁止員工發表一切與釀酒研究有關的成果,但允許他在不提到釀酒的前提下,以筆名發表t 分佈的發現,所以论文使用了「学生」(Student)这一笔名。之后t检定以及相关理论经由羅納德·費雪发扬光大,為了感謝戈塞的功勞,費雪将此分布命名为学生t 分布(Student's t)。[3]