隐函数定理
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在数学分析中,隐函数定理是一個用來回答下面的問題的工具:以隐函数表示的多變量函數,這函數的變量在局部上是否存在显式的关系?隐函数定理说明,对于一个由关系 f(x, y)=0 表示的隐函数,如果它在某一点的偏微分满足某些条件,则在该点有鄰域使得在該鄰域內 y 可以表示成关于 x 的函数:
这样就把隐函数关系变成了常见的函数关系。
舉一個簡單例子:假設兩個變量 x, y 滿足隱函數 x2 + y2 − 1 = 0,此隱函數代表了平面上的單位圓,任取單位圓中的一點,那是否存在包含該點的鄰域跟定義在鄰域裡的顯函數 y=h(x) 去(局部的)描述這單位圓的圖形?
答案是:除了(-1,0) 跟 (1,0 ) 兩點外,其他點局部上都有 y=h(x) 的顯函數表達式。理由請看下面的隱函數定理。