Teoria Galois
dział algebry abstrakcyjnej wiążący grupy z wielomianami i ciałami / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Teoria Galois?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Teoria Galois – dział matematyki wyższej definiowany dwojako:
- w sensie węższym jest to gałąź algebry abstrakcyjnej stosująca teorię grup do badania ciał i wielomianów;
- w sensie szerszym jest badanie różnych struktur za pomocą ich grup automorfizmów[1].
Ten artykuł dotyczy wprowadzenia w teorię Galois. Zobacz też: formalny opis teorii. |
Dziedzinę tę stworzył w I połowie XIX wieku Évariste Galois, od którego nazwiska jest nazwana. Opisał on związki między pierwiastkami rzeczywistych i zespolonych wielomianów za pomocą grup permutacji; zasadnicze twierdzenie teorii Galois podaje warunek równoważny na rozwiązalność równania wielomianowego przez pierwiastniki[2]. Tym sposobem podał on nowy dowód twierdzenia Abela-Ruffiniego i rozszerzył ten wynik negatywny o wynik pozytywny – wskazując, kiedy rozwiązanie równań tym sposobem jest możliwe. Galois podał też wszystkie ciała skończone[potrzebny przypis]. Późniejsi badacze jak Richard Dedekind, Leopold Kronecker, Emil Artin i inni opracowali nowe podejście do tej dyscypliny, oparte na badaniu rozszerzeń ciał oraz automorfizmów tych rozszerzeń. Ten obszar badań bywa nazywany algebraiczną teorią Galois[3] dla kontrastu z późniejszą różniczkową teorią Galois, która bada rozwiązalność liniowych równań różniczkowych[4].
Teoria Galois dostarcza też prostego dowodu zasadniczego twierdzenia algebry[potrzebny przypis]. Czasem do wyników tej dziedziny zalicza się też warunek konstruowalności pewnych figur przez konstrukcje klasyczne, ponieważ jest on sformułowany w języku rozszerzeń ciał. Daleko idącą abstrakcją teorii Galois jest teoria połączeń Galois[potrzebny przypis].