Funció exponencial
funció matemàtica / From Wikipedia, the free encyclopedia
En sentit ampli, una funció exponencial és qualsevol funció del tipus ax, una potenciació on la base a és qualsevol nombre real positiu i l'exponent x és la variable. De manera encara més general, s'anomenen així les funcions múltiples d'aquestes, de la forma kax amb k real (vegeu Creixement exponencial). En llenguatge menys precís, fins i tot es pot anomenar exponencial qualsevol funció formada a partir d'algun dels termes anteriors o que s'hi aproximi. Malgrat tot, el terme funció exponencial gairebé sempre es refereix a la funció exponencial en base e, que és la que tracta aquest article.
Exponencial | |
---|---|
La funció exponencial natural al llarg d'una part de l'eix real | |
Informació general | |
Definició general | |
Motiu de la invenció | Proves analítiques |
Camps d'aplicació | Matemàtiques pures i aplicades |
Domini, codomini i imatge | |
Domini | |
Imatge | |
Valors específics | |
A zero | 1 |
Valor a 1 | e |
Característiques específiques | |
Punt fix | −Wn(−1) per a |
Funcions relacionades | |
Recíproca | |
Inversa | Logaritme complex |
Derivada | |
Primitiva | |
Definició amb sèries | |
Sèrie de Taylor |
La funció exponencial és una de les funcions més importants de les matemàtiques. Sorgeix en el desenvolupament del càlcul infinitesimal[lower-alpha 1] i apareix en una immensa quantitat de fórmules amb nombroses aplicacions en la majoria de branques científiques. El domini de la funció són els nombres reals i es pot estendre també als nombres complexos. Si x és la variable, s'escriu exp(x) o ex, notació aquesta darrera que correspon a la potenciació amb base e, la constant d'Euler, que val aproximadament 2,71828183. Es pot caracteritzar de diverses maneres; és, per exemple, l'única funció que és igual a la seva derivada i que val 1 en el punt 0. És la funció inversa del logaritme natural, de manera que és un element imprescindible a l'hora de resoldre certs problemes.
Com a funció de la variable x real, la gràfica d'ex sempre és positiva (al llarg de l'eix de les x) i creixent (d'esquerra a dreta). Mai arriba a tocar l'eix de les x, tot i que s'hi aproxima tant com es vulgui (això significa que l'eix de les x és un asímptota horitzontal de la gràfica). La funció inversa, el logaritme neperià, ln(x), està definit per tota x positiva.
La funció exponencial es pot definir de manera anàloga en objectes matemàtics diferents als nombres reals i complexos, com en espais de matrius quadrades.
La funció exponencial real és una bijecció de a .[1] La seva funció inversa és el logaritme natural, escrit , o . A causa d'això, alguns textos antics[2] es refereixen a la funció exponencial com l'antilogaritme.