Θεωρία δακτυλίων
From Wikipedia, the free encyclopedia
Στην αφηρημένη άλγεβρα, η θεωρία δακτυλίων είναι η μελέτη των δακτυλίων- αλγεβρικών δομών στις οποίες ορίζεται η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός με ιδιότητες παρόμοιες με την κλασσική πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό των ακεραίων. Η θεωρία των δακτυλίων μελετά τη δομή τους, τις αναπαραστάσεις τους, με άλλα λόγια modules, που είναι κλάσεις δακτυλίων (δακτύλιοι ομάδων, δακτύλιοι διαίρεσης, καθολικές περιβάλλουσες άλγεβρες), αλλά και μία σειρά ιδιοτήτων τους που παρουσιάζουν ενδιαφέρον τόσο στη θεωρία όσο και στις εφαρμογές, όπως ομολογικές ιδιότητες και πολυωνυμικές ταυτότητες.
Το λήμμα παραθέτει τις πηγές του αόριστα, χωρίς παραπομπές. |
Οι αντιμεταθετικοί δακτύλιοι είναι περισσότερο κατανοητοί από τους μη αντιμεταθετικούς. Η αλγεβρική γεωμετρία και η αλγεβρική θεωρία αριθμών, που προσφέρουν πολλά φυσικά παραδείγματα αντιμεταθετικών δακτυλίων, έχουν οδηγήσει στην ανάπτυξη της θεωρίας των ανιμεταθετικών δακτυλίων, που ονομάζεται αντιμεταθετική άλγεβρα και αποτελεί σημαντικό τμήμα των μοντέρνων μαθηματικών. Επειδή τα τρία αυτά πεδία (αλγεβρική γεωμετρία, αλγεβρική θεωρία αριθμών και αντιμεταθετική άλγεβρα) είναι άμεσα συνδεδεμένα είναι συνήθως δύσκολη αλλά και άσκοπη η απόδοση αποτελεσμάτων σε ένα από τα πεδία. Για παράδειγμα των θεώρημα του Hilbert Nullstellensatz είναι θεμελιώδες για την αλγεβρική γεωμετρία αλλά διατυπώνεται και αποδεικνύεται με μεθόδους της αντιμεταθετικής άλγεβρας. Παρόμοια, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά διατυπώνεται με βασική αριθμητική, κομμάτι της αντιμεταθετικής άλγεβρας αλλά η απόδειξή του απαιτεί προχωρημένα αποτελέσματα της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών και της αλγεβρικής γεωμετρίας.
Οι μη αντιμεταθετικοί δακτύλιοι είναι διαφορετικοί από τους αντιμεταθετικούς διότι έχουν ασυνήθιστη συμπεριφορά. Ενώ υπάρχει και ανεξάρτητη ανάπτυξη της θεωρίας τους, υπάρχει μία νέα τάση για παράλληλη ανάπτυξη με αυτή των αντιμεταθετικών. Αυτό επιτυγχάνεται, κατασκευάζοντας τη θεωρία για συγκεκριμένους τύπους μη αντιμεταθετικών δακτυλίων με γεωμετρικές μεθόδους, σαν να ήταν δακτύλιοι συναρτήσεων σε ( μη- υπαρκτούς) "μη- αντιμεταθετικούς χώρους". Η τάση αυτή ξεκίνησε το 1980 με την ανάπτυξη της μη αντιμεταθετικής γεωμετρίας και την ανακάλυψη κβαντικών ομάδων. Οδήγησε στην καλύτερη κατανόηση των μη αντιμεταθετικών δακτυλίων ειδικά των μη αντιμεταθετικών δακτυλίων Noetherian.(Goodearl 1989)
Για τον ορισμό του δακτυλίου, βασικές ιδέες και ιδιότητες, βλέπε δακτύλιος (μαθηματικά). Οι ορισμοί και οι όροι που χρησιμοποιούνται στη θεωρία δακτυλίων βρίσκονται στο γλωσσάρι της θεωρίας δακτυλίων.