משפט דיריכלה
משפט בתורת המספרים / ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
משפט דיריכלה הוא משפט מתמטי, הקובע כי יש אינסוף מספרים ראשוניים בסדרה חשבונית שבסיסה זר להפרשה. גרסאות חזקות יותר של המשפט קובעות את הצפיפות היחסית של המספרים הראשוניים בסדרות חשבוניות. את המשפט הוכיח המתמטיקאי הגרמני יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה בשנת 1837.
עוד מימי אוקלידס ידוע שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים. הוכחות דומות לזו של אוקלידס מאפשרות להראות גם שקיימים אינסוף ראשוניים מן הצורות , וידועות גם תוצאות כלליות יותר. דיריכלה היה הראשון שהראה שבכל סדרה חשבונית שבה הדבר אפשרי (כלומר סדרה מהצורה שבה זרים), קיימים אינסוף ראשוניים.
דיריכלה הוכיח שלקבוצת המספרים הראשוניים השקולים ל- מודולו יש צפיפות דיריכלה ביחס לקבוצת כל הראשוניים, והיא שווה ל-, כאשר היא פונקציית אוילר. ההוכחה מבוססת על התמרת פורייה דיסקרטית על חבורת אוילר המאפשרת לבטא את הצפיפות היחסית באמצעות סיכום משוקלל של לוגריתמים של פונקציות L של דיריכלה – וריאנטים על פונקציית זטא של רימן התלויים בקרקטר כפליים מודולו .
ההוכחה של דיריכלה נחשבת פורצת דרך, שכן היא עירבה לראשונה שימוש מרובה באנליזה מתמטית לא טריוויאלית כדי להשיג תוצאה בתורת המספרים. הוכחת המשפט נחשבת להולדת תורת המספרים האנליטית, כמו כן ההוכחה השפיעה על התפתחות תורת המספרים האלגברית ותורת ההצגות.
ב-1896, יחד עם הוכחת משפט המספרים הראשוניים, הראו ז'אק אדמר ושארל דה לה ואלה פוסן שהטענה נכונה גם אם מחליפים את צפיפות דיריכלה בצפיפות הטבעית.[1]