משפט האינטגרל של קושי
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
באנליזה מרוכבת, משפט האינטגרל של קושי-גורסה (על שמם של אוגוסטין קושי ואדואר גורסה (אנ')) הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות, העוסק בחישוב אינטגרל קווי של פונקציות מרוכבות הולומורפיות. בבסיסו, המשפט אומר שאם פונקציה היא הולומורפית בתחום פשוט קשר מסוים אז האינטגרל שלה לאורך מסלול סגור ופשוט המוכל בתחום מתאפס. ניתן להכליל את המשפט כך שאין צורך לדרוש שהמסלול יהיה פשוט אלא מספיק שיהיה סגור.
ערך מחפש מקורות | |
למשפט זה תוצאות חשובות רבות, כגון נוסחת האינטגרל של קושי, משפט ליוביל, המשפט היסודי של האלגברה, משפט השארית ועוד. מהמשפט ניתן גם להסיק כי פונקציות הולומורפיות הן אנליטיות, כלומר ניתן לפתח אותן לטור טיילור.
המשפט המקורי שקושי הוכיח כלל את ההנחה שהנגזרת רציפה. כחצי מאה לאחר קושי, הוכיח אדואר גורסה את המשפט אך ללא הנחה זו. הוכחה זו משמעותית כי לאחר מכן ניתן להוכיח את נוסחת האינטגרל של קושי עבור פונקציות הולומורפיות, וממנה ניתן להוכיח שכל פונקציה הולומורפית היא אנליטית.