Punto di discontinuità
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In matematica, in particolare in analisi, si dice punto di discontinuità di una funzione a valori reali un punto appartenente al dominio di nel quale la funzione non risulti continua[1]. La nozione di punto di discontinuità può poi essere facilmente estesa al caso in cui la funzione non sia definita nel punto stesso, ma in un suo intorno (in modo che sia possibile definire i limite destro e sinistro[2]).
Nel caso di una funzione a una sola variabile , questo significa che un punto è di discontinuità se e solo se non è verificata la condizione:
- .
A seconda del modo in cui questa condizione viene a mancare, i punti di discontinuità vengono raggruppati sotto tre famiglie, dette specie:
- discontinuità di prima specie: il limite destro e il limite sinistro per tendente a esistono finiti, ma sono diversi tra loro (la funzione presenta un "salto" finito nel punto di ascissa )[2];
- discontinuità di seconda specie: almeno uno dei due limiti per tendente a è infinito (positivo o negativo) oppure non esiste (in quest'ultimo caso si parla anche di discontinuità essenziale)[3];
- discontinuità di terza specie (o eliminabile): esistono uguali e finiti i limiti destro e sinistro per tendente a , ma il loro valore è diverso dal valore di nel punto oppure non è definita in [4].