Riemann-zèta-functie
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedia
In de analytische getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de Riemann-zèta-functie, genoemd naar de Duitse wiskundige Bernhard Riemann, een belangrijke functie vooral vanwege haar verband met de verdeling van priemgetallen. De functie heeft ook toepassingen op andere terreinen, zoals de natuurkunde, kansrekening en de statistiek.
De zèta-functie werd als een functie van een reëel argument in de eerste helft van de 18e eeuw geïntroduceerd en bestudeerd door Leonhard Euler. Er bestond in die tijd nog geen complexe functietheorie. Bernhard Riemann breidde in 1859 in zijn publicatie "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" Eulers definitie uit naar de complexe variabelen. Ook bewees hij de meromorfe voortzetting, definieerde hij de functionaalvergelijking van de Riemann-zèta-functie en stelde hij een relatie vast tussen haar nulpunten en de verdeling van priemgetallen.[1]
De waarden van de Riemann-zèta-functie op even positieve gehele getallen werden al berekend door Euler. De eerste ervan, ζ(2), biedt een oplossing voor het Bazel-probleem. Roger Apéry bewees in 1979 de irrationaliteit van de constante van Apéry ζ(3). De waarden op negatieve gehele getallen, ook gevonden door Euler, zijn rationale getallen en spelen een belangrijke rol in de theorie van de modulaire vormen. Er bestaan veel veralgemeningen van de Riemann-zèta-functie, zoals de Dirichletreeks, Dirichlet-L-functies en L-functies.