Ułamek łańcuchowy
rodzaj zagnieżdżonego wyrażenia wymiernego / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Ułamek łańcuchowy?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Ułamek łańcuchowy, ułamek ciągły[1] (skończony) to wyrażenie postaci:
gdzie jest liczbą całkowitą, a wszystkie pozostałe liczby są naturalne i dodatnie. Liczby nazywamy mianownikami częściowymi ułamka łańcuchowego. W niektórych źródłach zezwala się, by liczby były rzeczywiste, a ułamki, w których i , nazywa się dodatkowo arytmetycznymi.[2]
Zamiast powyższej „piętrowej” notacji ułamki łańcuchowe najczęściej zapisuje się w postaci ciągu Spotykane są również inne notacje, między innymi notacja wprowadzona przez Pringsheima:
- .
Ułamek łańcuchowy nieskończony definiujemy jako granicę ciągu ułamków skończonych (granica ta zawsze istnieje):
Każdą liczbę rzeczywistą można zapisać w postaci ułamka łańcuchowego. Liczbom wymiernym odpowiadają ułamki skończone, natomiast liczbom niewymiernym – ułamki nieskończone.[3] Dla ułamków łańcuchowych skończonych reprezentujących liczby wymierne zachodzi
czyli ich rozwinięcie w ułamek łańcuchowy nie jest jednoznaczne. Staje się ono jednoznaczne przy założeniu, że ta ostatnia liczba jest większa od 1, tzn. każdą liczbę wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci gdzie jest liczbą całkowitą, są liczbami naturalnymi, a Rozwinięcie liczby niewymiernej w (nieskończony) ułamek łańcuchowy zawsze jest jednoznaczne.[3]
Każdy okresowy ułamek łańcuchowy przedstawia pewną niewymierność kwadratową, tzn. niewymierny pierwiastek równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych. Każda niewymierność kwadratowa rozwija się w okresowy arytmetyczny ułamek łańcuchowy.[3]