Ураўненне Паўлі
From Wikipedia, the free encyclopedia
Ураўненне Паўлі — ураўненне нерэлятывісцкай квантавай механікі, якое апісвае рух зараджанай часціцы са спінам 1/2 (напрыклад, электрона) у вонкавым электрамагнітным полі. Прапанавана Вольфгангам Паўлі ў 1927 годзе. Не блытаць з асноўным кінетычным ураўненнем[ru], якое таксама часам называюць ураўненнем Паўлі.
Квантавая механіка | ||||||||||||||||||
Прынцып нявызначанасці Гейзенберга | ||||||||||||||||||
Уводзіны Матэматычныя асновы
| ||||||||||||||||||
Ураўненне Паўлі з’яўляецца абагульненнем ураўнення Шродзінгера, якое ўлічвае наяўнасць у часціцы ўласнага механічнага моманту імпульсу — спіна. Часціца са спінам 1/2 можа знаходзіцца ў двух розных спінавых станах з праекцыямі спіна +1/2 і −1/2 на некаторы (адвольна выбраны) кірунак, які прымаецца звычайна за вось z. У адпаведнасці з гэтым хвалевая функцыя часціцы (дзе r — каардыната часціцы, t — час) з’яўляецца двухкампанентнай:
Пры паваротах каардынатных восей i пераўтвараюцца як кампаненты спінара. У прасторы спінарных хвалевых функцый скалярны здабытак i мае выгляд
Аператары фізічных велічынь з’яўляюцца матрыцамі 2×2, якія для велічынь (назіраных), незалежных ад спіна, кратныя адзінкавай матрыцы.
У сілу агульных законаў электрадынамікі электрычна зараджаная сістэма з ненулявым спінавым момантам валодае і магнітным момантам, прапарцыянальным : (g — гірамагнітныя адносіны). Для арбітальнага моманту , дзе е — зарад, m — маса часціцы; спінавыя гірамагнітныя адносіны аказваюцца ў два разы большымі: . У вонкавым магнітным полі напружанасці магнітны момант валодае патэнцыяльнай энергіяй , дабаўленне якой у гамільтаніян H электрона ў вонкавым электронна-магнітным полі з патэнцыяламі і A прыводзіць да ўраўнення Паўлі:
дзе — аператар імпульсу, — адзінкавы аператар, а прапарцыянальны аператару спіна: .
Прапанаванае першапачаткова на аснове эўрыстычных меркаванняў ураўненне Паўлі аказалася натуральным следствам рэлятывісцкі-інварыянтнага ўраўнення Дзірака ў слабарэлятывісцкім прыбліжэнні, у якім улічваюцца толькі першыя члены раскладання па адваротных ступенях скорасці святла.
Калі напружанасць вонкавага магнітнага поля не залежыць ад прасторавых каардынат, то арбітальны рух часціцы і змяненне арыентацыі яе спіна адбываюцца незалежна. Хвалевая функцыя пры гэтым мае выгляд , дзе — скалярная функцыя, якая падпарадкоўваецца ўраўненню Шродзінгера, а спінар задавальняе ўраўненню
З гэтага ураўнення вынікае, што сярэдняе значэнне спіна прэцэсіруе вакол напрамку магнітнага поля:
Тут — цыклатронная частата, — адзінкавы вектар уздоўж магнітнага поля.
На аснове ўраўнення Паўлі можа быць разлічана расшчапленне ўзроўняў электронаў у атаме ў вонкавым магнітным полі з улікам спіна (эфект Зеемана). Аднак больш тонкія рэлятывісцкія эфекты ў атамах, абумоўленыя спінам электрона, могуць быць апісаны толькі пры ўліку больш высокіх членаў раскладання рэлятывісцкага ўраўнення Дзірака па адваротных ступенях скорасці святла.