表示论
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表示論(英語:Representation theory)是數學中抽象代數的一支。旨在抽象代数结构中的元素「表示」成向量空間上的線性變換,并研究这些代数结构上的模,藉以研究結構的性質。[1]略言之,表示論將一代數對象表作較具體的矩陣,並使得原結構中的代数运算對應到矩陣加法和矩陣乘法。此法可施於群、結合代數及李代數等多種代數結構;其中肇源最早,用途也最廣的是群表示論。[2]設為群,其在域(常取複數域)表示是一-矢量空間及映至一般線性群之群同態
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假設有限維,則上述同態即是將的元素映成可逆矩陣,並使得群運算對應到矩陣乘法。
表示論的妙用在於能將抽象代数問題轉為较容易解决的線性代數问题[3]。此外,群还可以表示在无穷维空间上;例如,若考慮無窮維希爾伯特空間上的表示,並要求一些連續性條件,此時表示論就牽涉到一些泛函分析的課題,数学分析的方法就可以用于解决群论的问题。[4]表示論在自然科學中也有應用。對稱性的問題離不開群,而群的研究又有賴於其表示,最明顯的例子便是李群及李代數表示論在量子力學中的關鍵角色。
表示论的一大特点是它遍布数学各个领域。这个特点有两个方面。首先,表示论的应用十分广泛:[5]除了在代数的影响之外,表示论
另一方面,研究表示论的途径也相当多元化,应用了代数几何、模块理论(英语:Module theory)、解析数论、微分几何、算子理论、代数组合学和拓扑学的思想和方法[9]
「表示」的概念後來也得到進一步的推廣,例如範疇的表示。[10]表示论所施的代数对象可被视为特定的范畴,而表示本身则是从对象范畴到向量空间范畴的函子。这个表述方式立即指向两种显然的推广:其一,代数对象可换成成更一般的范畴;其二,向量空间范畴也可换成其它较好理解的范畴。
注意不要将“表示”与代数对象的“展示”混淆,如群的展示。