Експоненцијална функција
From Wikipedia, the free encyclopedia
Експоненцијална функција је једна од најважнијих функција у математици. Она има облик , где је b позитивни реални број, и у коме се аргумент x јавља као експонент. За реалне бројеве c и d, функција облика је исто тако експоненцијална функција, јер се може написати као . Осим ако није другачије назначено, термин се генерално односи на функцију позитивне вредности реалне променљиве, иако се може проширити на комплексне бројеве или генерализовати на друге математичке објекте као што су матрице или Лијеве алгебре. Експоненцијална функција је настала из појма експоненцијације (поновљено множење), али модерне дефиниције (постоји неколико еквивалентних карактеризација) дозвољавају да се ригорозно прошири на све реалне аргументе, укључујући ирационалне бројеве. Њена свеприсутна појава у чистој и примењеној математици навела је математичара Валтера Рудина на мишљење да је експоненцијална функција „најважнија функција у математици“.[1][2]
Као функције реалне променљиве, експоненцијалне функције су јединствено окарактерисане чињеницом да је брзина раста такве функције (тј. њеног деривата) директно пропорционална вредности функције. Константа пропорционалности овог односа је природни логаритам базе b:
За b = 1 реална експоненцијална функција је константа и њен извод је нула, јер је за позитивно a и b > 1 реалне експоненцијалне функције су монотоно растуће (као што је приказано за b = e и b = 2), јер је извод већи од нуле за све аргументе, и за b < 1 оне су монотоно опадајуће (као што је приказано за b = 1/2), јер је извод мањи од нуле за све аргументе.
Природна експоненцијална функција се означава се као () или , при чему је e = 2.71828..., што је заправо Неперова константа, основа природног логаритма. Извод ове функције је она сама:
Експоненцијална функција је реална функција једне променљиве, дефинисана за све реалне бројеве, која је увек позитивна и растућа. Никада не додирује -осу, мада јој је -оса једина асимптота. Њена инверзна функција, природни логаритам, је дефинисана само за позитивне вредности променљиве .
Будући да промена базе експоненцијалне функције само доводи до појаве додатног константног фактора, рачунски је погодно редуковати проучавање експоненцијалних функција у математичкој анализи на проучавање ове одређене функције, конвенционално зване „природна експоненцијална функција”,[3][4] или једноставно, „експоненцијална функција” и означава се са
Док су обе ознаке уобичајене, прва нотација се обично користи за једноставније експоненте, док се друга ознака обично користи када је експонент компликован израз.
Експоненцијална функција задовољава фундаментални идентитет множења
Овај идентитет обухвата комплексне експонената. Може се показати да је свако континуирано, ненулто решење функцијске једначине експоненцијална функција, with Фундаментални мултипликативни идентитет, заједно са дефиницијом e као e1, показује да је за природне бројеве n и повезује експоненцијалну функцију са елементарним појмом експоненцијације. Аргумент експоненцијалне функције може бити било који реални или комплексни број или потпуно другачија врста математичког објекта (на пример, матрица).
Њена свеприсутна појава у чистој и примењеној математици навела је математичара В. Рудина на мишљење да је експоненцијална функција „најважнија функција у математици”.[1] У примењеним ситуацијама, експоненцијалне функције моделују однос у којем константна промена у независној променљивој даје исту пропорционалну промену (тј. процентуално повећање или смањење) у зависној променљивој. Ово је широко заступљено у природним и друштвеним наукама; стога се експоненцијална функција појављује у мноштву различитих контекста унутар физике, хемије, инжењерства, математичке биологије и економије.
Графикон функције је нагнут нагоре, и повећава се брже са порастом x. Графикон увек лежи изнад x-осе, али може бити произвољно близу негативног x; стога је x-оса хоризонтална асимптота. Нагиб тангенте на графикону у свакој тачки једнак је њеној y-координати у тој тачки, као што следи из њене функције извода (види горе). Њена инверзна функција је природни логаритам, означен са [5] [6] или због тога, неки стари текстови[7] наводе експоненцијалну функцију као антилогаритам.